# 除法速算技巧

## 一、拆分法

### （一）注意事项

#### 第一节 除法技巧

1. **多位数除法**：一般情况下，分子保留前三位，分母可根据情况保留三、四、五位。例如：
   - 3917/7363 可以简化为 392/737 或 391/736，分母最好取偶数。

2. **分母换成偶数**：便于计算。例如：
   - 3917/7363 可以简化为 392/736。

3. **分子分母同增同减**：不用分开四舍五入。例如：
   - 3917/7363 可以简化为 392/737 或 391/736。

4. **常用拆分数值**：1%、5%、10%、50%、1/3、1/4、2/3等。

### （二）拆分法应用

**示例 1**
$$
\frac{145}{142} = \frac{142 + 3}{142} = \frac{142}{142} + \frac{3}{142} \approx 1 + 2\%
$$

**示例 2**

$$
\frac{74}{142} = \frac{71 + 3}{142} = \frac{71}{142} + \frac{3}{142} \approx 50\% + 2\%
$$


1. **分子接近分母**：用1(100%)减去。例如：
   - 例1：394/632
     - 细算：316+63+15/632 = 316+78/632 = 316+63+15/632 = 50%+10%+15/632，结果稍大于60%。

2. **分子接近分母的一半**：拆出50%。例如：
   - 分子>50%，50%+某数；分子 < 50%，50%减去某数。
   - 例2：249/524 = (262-13)/524 = 50%-13/524 = 50%-(2%) = 47%。

3. **分子很小**：根据实际情况拆出10%、5%、1%。例如：
   - 例1：78/6320 = (63+15)/6320 ≈ 10%+15/6320 = 10%+0.2% = 10.2%。
   - 例2：65/792 = (79-14)/792 = 10%-1% = 8%。

4. **特殊分数**：根据首位比值，拆出其他特殊分数（1/4、1/3、2/3、3/4、4/5等）。例如：
   - 例1：241/639 = (213+28)/639 = 1/3+4% = 33.3%+4% = 37.3%。
   - 例2：219/864 = (216+3)/864 = 1/4+3/864 = 1/4+0.3% = 25.3%。

### （三）常用百分比换算

1. **50%**：分母/2。
2. **10%**：分母/10（分母小数点向前移动一位）。
3. **5%**：分母×10%/2。
4. **1%**：分母/100（分母小数点向前移动两位）。


### 例题解析

#### 例1：

2017年，我国城镇环境基础设施建设投资额中，同比增速最高的是：

A. 集中供热  
B. 排水

- 集中供热：662.5（2016年） -> 778.3（2017年）
  - 778.3/662.5 ≈ 1 + 116/662.5 ≈ 1 + 116/663 ≈ 1 + 17.5% ≈ 1 + 18%。
- 排水：1485.5（2016年） -> 1727.5（2017年）
  - 1727.5/1485.5 ≈ 1 + 242/1485.5 ≈ 1 + 242/1486 ≈ 1 + 16.3% ≈ 1 + 16%。

结论：集中供热的增速高于排水。

## 二、拓展：分子分母同时拆分（盐水思想）

### （一）原理：盐水思想

1. **混合溶液浓度**：一定在两部分溶液浓度之间，且靠近比重大的部分。
2. **应用**：最后一道综合题应用较多。

### （二）应用方法

1. **分子分母分别拆分成两部分**：一大杯和一小勺。分子分母可分别拆分成两部分，且满足一大杯和一小勺的关系（即一部分所占比重极大，起主导作用，另一部分比重极小，起调节作用）。
2. **拆出的一大部分容易计算**：否则没有必要使用此方法。

### （三）例题解析

> 例1：求4031/5062

解析：
1. 可理解成混合溶液的浓度，分数分解成“（4000＋31）/（5000＋62）”。
2. 现有A、B两杯溶液，A溶液5000g，溶质4000g，浓度80%；B溶液62g，溶质31g，浓度50%。
3. 现将两杯溶液混合，则混合浓度＝（4000＋31）/（5000＋62）＝4031/5062。
4. “4000/5000”为A浓度，“31/62”为B浓度，A占比过大，B作用极小，则混合浓度4031/5062应在50%－80%之间，且非常靠近4000/5000=80%。

> 例2：求5040/10100

解析：
- 原式 =（5000+40）/（10000+100），看成浓度为5000/10000和40/100的溶液，前者起主导作用，结果接近50%。

> 例3：求6/15

解析：
- =（5+1）/（10+5），50%。

> 例4：321/632

解析：
- 拆成（300+21）/（600+32），相当于浓度为50%的盐水里面加了21份盐和32份水，加的浓度大于50%，结果值比50%稍大。

> 例5：2008年、2011年我国城镇居民人均可支配收入分别是15781元、21810元，2011年比2008年大约增加了（）

A. 18%  
B. 38%  
C. 58%  
D. 85%

解析：
- 估算取（218-157）/157=61/157=（60+1）/（150+7），60/150=40%，应该比它稍小，所以选B。

### 1. 截位直除法

#### 1.1 一步除法
**方法概述**:  
一步除法是指整个算式中只有一个除法运算，我们通过对分母进行截位，简化除法计算。

**步骤**:
- 将分母进行截位（保留几位），再进行简单的除法运算。
- 根据题目要求来确定需要的精度。

**例子**:

**题目**: 564 ÷ 188 = ?

1. 先将188四舍五入到200，简化计算：
   ```
   564 ÷ 188 ≈ 564 ÷ 200 = 2.82
   ```

2. 实际计算结果为3.0。通过截位简化，得到了接近的结果。

**理解**:
在一步除法中，截位直除法通过简化分母的数值，能够帮助我们快速估算出除法结果，适用于题目只要求近似值的情况。

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#### 1.2 多步除法
**方法概述**:  
多步除法是指在算式中既有乘法又有除法。我们通过同时截分子和分母，使得整个运算变得简单。

**步骤**:
- 同时对分子和分母进行截位。
- 截位后再进行乘除法计算。

**例子**:

**题目**: (1234 × 876) ÷ 498 ≈ ?

1. 先将分子1234四舍五入到1200，分母498四舍五入到500，进行简化：
   ```
   (1200 × 876) ÷ 500 = 1051200 ÷ 500 = 2102.4
   ```

2. 实际计算结果为2169。通过截位得到的结果非常接近实际值。

**理解**:
多步除法适用于那些乘除混合的运算，通过同时截位分子和分母，可以减少计算量，使运算过程更加高效。

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### 2. 选项差距法

**方法概述**:  
选项差距法是一种在选择题中常用的估算方法，目的是通过观察选项之间的差距，快速排除不合适的选项，找到最接近的答案。

**步骤**:
- 当四个选项差距较大时，只需观察最接近的两个选项。
- 如果选项差距小，通过进一步的计算得出准确的答案。

#### 2.1 截3位 - 选项差距【小】
**适用场景**:  
当选项之间差距较小时，可以通过简单的截位来快速估算出最接近的答案。

**例子**:

**题目**: 358 ÷ 7 = ?

选项:  
A. 51  
B. 52  
C. 53  
D. 54

1. 先截取前三位进行除法运算：
   ```
   358 ÷ 7 ≈ 51.14
   ```

2. 通过估算得出答案接近**51**。

**理解**:
当选项差距较小时，可以通过估算或者截位，快速选择出最接近的答案。这种方法能够减少逐位计算的负担，适合快速判断答案的场景。

#### 2.2 截2位 - 选项差距【大】
**适用场景**:  
当选项之间差距较大时，我们可以通过观察首位数字来快速判断答案。

**例子**:

**题目**: 1542 ÷ 31 = ?

选项:  
A. 40  
B. 50  
C. 60  
D. 70

1. 截取前两位进行估算：
   ```
   1500 ÷ 30 = 50
   ```

2. 因为实际计算结果为49.74，选择最接近的选项**B. 50**。

**理解**:
当选项差距较大时，可以通过估算前两位数字，快速判断出答案，节省计算时间。

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### 3. 除法拆分

**方法概述**:  
除法拆分是将复杂的除法拆解成简单的部分进行逐步计算，尤其适用于分子和分母有规律变化的情况。

**步骤**:
- 分子与分母的大小相似时，可以使用拆分法将式子逐步化简。
- 将分子和分母按照倍数或比例关系进行比较，从而得出结果。

**例子**:

**题目**: 592 ÷ 97 = ?

1. 先将97近似为100，进行拆分计算：
   ```
   592 ÷ 100 = 5.92
   ```

2. 因为97比100小，我们可以将结果调整：
   ```
   5.92 × (100 ÷ 97) ≈ 6.1
   ```

3. 实际计算结果为6.1。

**理解**:
除法拆分法特别适合进行复杂数值的快速计算，通过近似和拆分，可以让在较短时间内得出接近准确的答案。

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### 4. 常用分数比较

**方法概述**:  
分数比较法是通过对分子和分母的比较，快速判断分数大小的一种方法。可以利用常见的分数和百分比关系来进行估算。

**例子**:

**题目**: 比较1/7和1/8的大小。

1. 利用分母比较法：分母越大，分数值越小。
   ```
   因为7 < 8，所以1/7 > 1/8
   ```

2. 利用百分比：1/7 ≈ 14.3%，1/8 ≈ 12.5%。因此1/7的值较大。

**理解**:
通过常见分数和百分比的对应关系，可以快速进行分数比较。这种方法适用于简化复杂的分数问题，也能帮助在心算中进行判断。
